Правило лопиталя бернулли

Правило лопиталя бернулли

Как найти производную? Примеры решений

Данное правило также встречается очень часто. Но о нём рассказать можно очень много, поэтому я создал отдельный урок на тему Производная сложной функции.

Смотрим на данную функцию. Здесь снова дробь. Однако перед тем как использовать правило дифференцирования частного (а его можно использовать), всегда имеет смысл посмотреть, а нельзя ли упростить саму дробь, или вообще избавиться от нее?
Дело в том, что формула достаточно громоздка, и применять ее совсем не хочется.

Эта необычное правило (как, собственно, и другие) следует из определения производной. Но с теорией мы пока повременим – сейчас важнее научиться решать:

Все степени вида желательно снова представить в виде корней, степени с отрицательными показателями – сбросить в знаменатель. Хотя этого можно и не делать, ошибкой не будет.

Ну вот, совсем другое дело, теперь дифференцировать просто и приятно:

Как найти производную, как взять производную? На данном уроке мы научимся находить производные функций. Но перед изучением данной страницы я настоятельно рекомендую ознакомиться с методическим материалом Горячие формулы школьного курса математики. Справочное пособие можно открыть или закачать на странице Математические формулы и таблицы. Также оттуда нам потребуется Таблица производных, ее лучше распечатать, к ней часто придется обращаться, причем, не только сейчас, но и в оффлайне.

Теперь смотрим на выражение в скобках, как бы его упростить? В данном случае замечаем множитель, который согласно первому правилу целесообразно вынести за знак производной:

В данной функции содержится сумма и произведение двух функций – квадратного трехчлена и логарифма . Со школы мы помним, что умножение и деление имеют приоритет перед сложением и вычитанием.

Высшая математика для заочников и не только

Как уже упоминалось, нередко у студента-заочника времени на выполнение контрольных заданий просто нет. Решение контрольной работы по математике, статистике, эконометрике можно заказать лично мне на странице Заказать контрольную по математике. Хотя на самом деле я уже в заметной степени отошел от решения контрольных работ, и всё большее и большее внимание уделяю созданию авторского курса лекций. Но при наличии времени и достойном гонораре, безусловно, рассмотрю Вашу заявку.

Мои методические разработки не отвечают на вопрос ЗАЧЕМ НУЖНА ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА? Действительно, большинству из вас она никогда не потребуется. Это факт.
Но изучение высшей математики предусмотрено учебными планами практически всех ВУЗов, и появляются задания, контрольные работы, которые необходимо сдавать. Тоже факт. Поэтому уроки-лекции сайта отвечают на вопрос: КАК ЭТО РЕШАТЬ? Они носят ярко выраженную практическую направленность, и при изучении той или иной темы я даже не всегда вам расскажу, ЧТО ЭТО ТАКОЕ, не всегда дам строгие математические определения.

Некоторые посетители критикуют дизайн сайта, но, во-первых, здесь таки учебные материалы, и, во-вторых… Много лет назад я написал этот шаблон в Блокноте, и со временем он стал визитной карточкой проекта (прямо в традициях Гугла).

Я не буду выкладывать здесь свою развернутую биографию с фотоальбомом, как это любят делать многие владельцы авторских Интернет-ресурсов. Наверняка вам сейчас представился образ солидного «ботана» в очках с избыточной массой тела. Забавно, но всё наоборот – внешне я вообще не математик. Многие ищут меня «Вконтакте», и от двух Александров Емелиных уже поступили жалобы 🙂 (серьёзно). Поэтому вот сразу ссылка на официальный паблик – подписывайтесь и будьте в курсе событий!

Но на глобальный вопрос отвечу. Один раз. Так зачем же нужна высшая математика? Изучение высшей математики очень хорошо развивает интеллект (ни в коем случае не самопохвала, хоть и правда). Если Вы освоили высшую математику, то сможете разобраться в любом предмете, в любой сфере профессиональной деятельности. А может, и станете олигархом, как Борис Абрамович, или министром, как Пётр Аркадьевич.

Добро пожаловать на сайт mathprofi.ru – Высшая математика – просто и доступно!

На сайте вы можете найти множество полезных методичек, математических таблиц, справочной информации и т.д. Я очень хорошо представляю, КАКИЕ ИМЕННО материалы по математике требуются студентам-заочникам чаще всего, а что востребовано раз в пятилетку. Я очень хорошо знаю, КАКИЕ задания встречаются на зачетах и экзаменах на заочных отделениях ВУЗов страны

Спасибо за внимание, думаю, наше знакомство состоялось. Пользуясь удобным случаем, передаю привет всем, кто меня узнал =) И, конечно же, выражаю глубокую благодарность всем своим учителям, в том числе, преподавателям по гуманитарным дисциплинам, которые научили меня грамотно излагать мысли и способствовали общему развитию.

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Для закрепления материала пара заключительных примеров.

Наверное, все обратили внимание на следующую вещь: каков порядок уравнения – столько и констант. Уравнение второго порядка располагает двумя константами , в уравнении третьего порядка – ровно три константы , в уравнении четвертого порядка обязательно будет ровно четыре константы и т.д. Причем, эта особенность справедлива вообще для любого диффура высшего порядка.

Данное дифференциальное уравнение решается последовательным интегрированием правой части. Причём интегрировать придется ровно раз.

Решение: В данном уравнении в явном виде не участвует переменная . Подстановка здесь более замысловата. Первую производную заменим некоторой пока еще неизвестной функцией , которая зависит от функции «игрек»: . Обратите внимание, что функция – это сложная функция. Внешняя функция – «зет», внутренняя функция – «игрек» («игрек» сам по себе является функцией).

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям
, ,

Проверить общее решение такого уравнения обычно очень легко. В данном случае необходимо лишь найти вторую производную:

Итак, функция найдена. Тут на радостях можно забыть про одну вещь и машинально записать ответ. Нет-нет, ещё не всё. Вспоминаем, что в начале задания была выполнена замена , следовательно, нужно провести обратную замену :

Найти частное решение уравнения, соответствующее заданным начальным условиям

Высшая математика для заочников и не только

Что самое главное для успешного изучения высшей математики (независимо от способностей)? Открою Вам секрет, самое главное – это посещать лекции. Дело в том, что ПРОСТЫХ УЧЕБНИКОВ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ПРАКТИЧЕСКИ НЕТ. Единственный доступно изложенный учебник, который я могу припомнить, это известный еще с советских времен Теория вероятностей и математической статистики Гмурмана. Для более подкованных студентов чуть проще окажется математический анализ Фихтенгольца, Бохана, учебник по аналитической геометрии Базылева, Атанасяна. Дефицит доходчивой учебной литературы характерен также и для других естественных наук – физики, химии и т.д. Поэтому, очень важно НЕ ПРОПУСКАТЬ ЛЕКЦИЙ, даже если Вы студент-заочник, и, даже если количество часов, отведенных на изучение высшей математики, кот наплакал. Можно пропустить историю, культурологию, философию и легко наверстать упущенное, но пропуск одного-единственного занятия по математике будет стоить ДОРОГО. В прямом и переносном смысле. Как говорится, плавали – знаем

Наряду с другими дисциплинами практически в любом ВУЗе есть любимый всеми предмет Высшая математика. Но как бы её ни любили студенты-очники, студенты-заочники, а зачеты
и экзамены, к сожалению / к счастью (нужное подчеркнуть), никто не отменял. Работа, отдых, семья, … и чаще всего на учёбу совсем не остается времени. Довольно распространена ситуация, когда студент составляет внушительный список специалистов-репетиторов – к кому
и по какому предмету обращаться за помощью. Вроде бы можно поприкалываться, но на самом деле в условиях ограниченного времени – это необходимость!

Но на глобальный вопрос отвечу. Один раз. Так зачем же нужна высшая математика? Изучение высшей математики очень хорошо развивает интеллект (ни в коем случае не самопохвала, хоть и правда). Если Вы освоили высшую математику, то сможете разобраться в любом предмете, в любой сфере профессиональной деятельности. А может, и станете олигархом, как Борис Абрамович, или министром, как Пётр Аркадьевич.

Данный ресурс предназначен, прежде всего, для студентов-заочников технических, экономических и гуманитарных специальностей. И не только для студентов-заочников. Каждый, кто осваивает высшую математику, найдет немало полезных учебных материалов, изложенных В ДОСТУПНОЙ ФОРМЕ. Помимо «математики для чайников» разбираются и более трудные темы, примеры, причём, в любом случае автор старается максимально подробно разъяснить практические задания.

Я не буду выкладывать здесь свою развернутую биографию с фотоальбомом, как это любят делать многие владельцы авторских Интернет-ресурсов. Наверняка вам сейчас представился образ солидного «ботана» в очках с избыточной массой тела. Забавно, но всё наоборот – внешне я вообще не математик. Многие ищут меня «Вконтакте», и от двух Александров Емелиных уже поступили жалобы 🙂 (серьёзно). Поэтому вот сразу ссылка на официальный паблик – подписывайтесь и будьте в курсе событий!

Мои методические разработки не отвечают на вопрос ЗАЧЕМ НУЖНА ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА? Действительно, большинству из вас она никогда не потребуется. Это факт.
Но изучение высшей математики предусмотрено учебными планами практически всех ВУЗов, и появляются задания, контрольные работы, которые необходимо сдавать. Тоже факт. Поэтому уроки-лекции сайта отвечают на вопрос: КАК ЭТО РЕШАТЬ? Они носят ярко выраженную практическую направленность, и при изучении той или иной темы я даже не всегда вам расскажу, ЧТО ЭТО ТАКОЕ, не всегда дам строгие математические определения.

На сайте вы можете найти множество полезных методичек, математических таблиц, справочной информации и т.д. Я очень хорошо представляю, КАКИЕ ИМЕННО материалы по математике требуются студентам-заочникам чаще всего, а что востребовано раз в пятилетку. Я очень хорошо знаю, КАКИЕ задания встречаются на зачетах и экзаменах на заочных отделениях ВУЗов страны

Ресурс Высшая математика для заочников и не только на сегодняшний день является в бОльшей степени некоммерческим проектом, и практически все учебные материалы доступны совершенно бесплатно. Если у Вас завтра зачет, экзамен, если Вам не понятен определённый тип задач, то мои уроки-лекции по высшей математике могут оказать неоценимую и очень своевременную помощь. Минимум теории, ВЫ НАУЧИТЕСЬ РЕШАТЬ задания по математике. Если уровень Вашей математической подготовки низок, то сначала следует ознакомиться со статьей Высшая математика для чайников или с чего начать? Там же приведены ссылки на крупнейшие каталоги оффлайн репетиторов.

Как найти производную? Примеры решений

Как найти производную, как взять производную? На данном уроке мы научимся находить производные функций. Но перед изучением данной страницы я настоятельно рекомендую ознакомиться с методическим материалом Горячие формулы школьного курса математики. Справочное пособие можно открыть или закачать на странице Математические формулы и таблицы. Также оттуда нам потребуется Таблица производных, ее лучше распечатать, к ней часто придется обращаться, причем, не только сейчас, но и в оффлайне.

Советую следующий порядок изучения темы: во-первых, эта статья. Затем нужно прочитать важнейший урок Производная сложной функции. Эти два базовых занятия позволят поднять Ваши навыки с полного нуля. Далее можно будет ознакомиться с более сложными производными в статье Сложные производные. Логарифмическая производная. Если планка окажется слишком высока, то сначала прочитайте вещь Простейшие типовые задачи с производной. Помимо нового материала, на уроке рассмотрены другие, более простые типы производных, и есть прекрасная возможность улучшить свою технику дифференцирования. Кроме того, в контрольных работах почти всегда встречаются задания на нахождение производных функций, которые заданы неявно или параметрически. Такой урок тоже есть: Производные неявных и параметрически заданных функций.

Говоря совсем просто, для того чтобы найти производную функции, нужно по определенным правилам превратить её в другую функцию. Посмотрите еще раз на таблицу производных – там функции превращаются в другие функции. Единственным исключением является экспоненциальная функция , которая превращается сама в себя. Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Вроде бы по аналогии напрашивается формула …., но неожиданность состоит в том, что:

В результате применения правил дифференцирования под штрихами у нас остались только элементарные функции, по таблице производных превращаем их в другие функции:

Смотрим на данную функцию. Здесь снова дробь. Однако перед тем как использовать правило дифференцирования частного (а его можно использовать), всегда имеет смысл посмотреть, а нельзя ли упростить саму дробь, или вообще избавиться от нее?
Дело в том, что формула достаточно громоздка, и применять ее совсем не хочется.

Ну вот, совсем другое дело, теперь дифференцировать просто и приятно:

Смотрим на наше выражение в скобках. У нас есть сложение, вычитание и деление. Со школы мы помним, что деление выполняется в первую очередь. И здесь – сначала применяем правило дифференцирования частного:

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Кроме того, вместе с «игреком» в явном виде может отсутствовать первая производная:
– это уже уравнение третьего порядка.

В принципе, можно запомнить данную замену формально и коротко:

На следующем шаге берём второй интеграл, понижая степень уравнения до первого порядка:

А сейчас пора повесить ружье на гвоздь и идти пить чай.

Решение: В данном уравнении в явном виде не участвует переменная . Еще здесь нет первой производной, но это не должно смущать – важно, что нет «иксов», а значит, используется стандартная замена:

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям
, ,

На практике наиболее популярной разновидность является уравнение второго порядка: . Дважды интегрируем правую часть и получаем общее решение. Уравнение третьего порядка необходимо проинтегрировать трижды, и т.д. Но диффуров четвертого и более высоких порядков в практических заданиях что-то даже и не припомню.

Для закрепления материала пара заключительных примеров.


Комментарии запрещены.